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切线长定理解读(直线和圆的位置关系及切线性质)

与点和圆的位置关系一样,直线与圆的位置关系也是三种:

  1. 相交,与圆有两个交点,叫做割线,⇔ 直线l1与圆的距离d1 < r
  2. 相切,与圆有一个交点,叫做切线,⇔ 直线l2与圆的距离d2 = r
  3. 相离,与圆没有交点,⇔ 直线l3与圆的距离d3 > r

对于第1,第2点,可以使用直角三角形的性质来证明,同学们可以自己想一下。

总的来说,直线与圆的位置关系可以通过以下两个方式来判断:

  1. 直线与圆相交点数
  2. 直线与圆的距离与圆半径的大小

割线我们会在后续章节(圆的弦和弧)来讨论,这里重点阐述切线的性质。

在这里,同学们是第一次接触到切线,会觉得很简单,其实切线的意义远不止于此,它是通往更上一层数学知识的台阶。到了高中阶段,同学们会发现数学的难度陡然直升,各种艰难、深奥的概念都会呈现在同学们的面前,想要学好高中数学,对初中数学知识掌握程度起到了非常关键的作用。

(在本系列内容中,我们不会去探讨相对深奥的知识点,而是以基本知识点为主,希望同学们能够彻底、扎实地掌握好。)

切线的判定定理:

  1. 根据基本定义,直线与圆只有一个交点,该直线为该圆的切线。

(这个判定方法很多同学容易忘记,在一些几何题中,我们可以使用解析几何的方式,构造两个方程:直线方程和圆方程,当它们只有一个解时,则直线与圆相切)

  1. 圆心到直线的距离等于半径,该直线是圆的切线。

证明如下:

∵ 圆心O到直线l的距离(OA)等于半径,OA=r

∴ 所以A在圆O上

∵ 点O到直线l的垂足(垂线与直线的交点)有且只有一个,即为点A

∴ 直线l与圆O只有一个交点

∴ 直线l是圆O的切线

证明完毕

  1. 经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线

半径的外端就是值半径在圆上的这点,如上图半径OA,A就是半径的外端。以上这句话可以理解成:直线l与圆的半径OA垂直,OA⊥l,且垂足是A点,则,直线l是圆的切线。

证明如下:

使用反正法。(在下一节相信介绍一下反证法)。

假设直线l与圆相交于A点,但又不是圆O的切线。那么直线l与圆O还有一个交点B(参考前面“直线与圆的三种位置关系”),点A和点B都在圆上,则OA=OB,

∵ OA⊥l,在直角三角形ΔOAB中,OA和AB都是直角边,

∴ 斜边OB>OA,这与假设条件推导出的结论OA=OB矛盾。

∴ 直线l是圆O的切线。

证明完毕。

切线性质:圆的切线垂直与经过切点的半径。

这个切线性质与切线判定是互逆的。

以上可以理解成:直线l是圆O的切线,A为切点,则OA⊥l

证明如下:

使用反证法,如果OA不垂直直线l,则可以经过O点作直线l的垂线,垂足为点B,连接OB,则有直角三角形ΔOBA,OB和AB为直角边,OA为斜边,则OB<OA,∵OA为圆O半径,∴B在圆O内,

又 ∵ 点A,B都在直线l上,则直线l与圆必然有两个交点,与原命题给出的条件直线l是圆的O的切线(只有一个交点)相矛盾。

∴ 假设不成立,可得OA⊥l

证明完毕。

切线长和切线长定理

切线长的定义:

在经过圆外一点的切线,这一点和切点之间的线段叫做这点到圆的切线长。

经过圆O外一点A有两条切线,与圆O交B,C两点,AB和AC都是A点到圆O的切线长。切线长就是线段长。

以上很容易理解,但我们想过没有,为什么圆外A点到圆O必然会有两条切线?

在前面的章节(圆周角和圆心角)中,我们了解到圆是旋转对称图形,而圆还是轴对称图形。

轴对称图形:平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形。直线叫做对称轴。

圆的对称轴是圆的直径,圆有无数条对称轴。

在上图中,连接AO的直线经过圆的直径EF。(注意:圆的直径是线段,不是直线。)切点B在直径的一侧,因对称性质,必然在另一侧有对称点C,B为切点,C也为切点,所以圆外一点到圆有两条切线。

切线长定理:

  1. 从圆外一点A作圆O的两条切线,它们的切线长相等,AB=AC。

证明如下:

∵ B、C为直线AB、AC与圆O的切点,连接OB和OC,根据切线性质,OB⊥AB,OC⊥AC,构成两个直角三角形ΔABO与ΔACO,

∵ B,C在圆上

∴ BO=CO,且AO为两个直角三角形公共边

∴ 根据勾股定理可得,AB=AC

证明完毕

  1. 从圆外一点A作圆O的两条切线,点A与圆心O的直线平分两条切线的夹角,∠BAO=∠CAO。

证明如下:

可以沿用上一个的方式来证明:ΔABO≌ΔACO

∴ ∠BAO=∠CAO

证明完毕

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